Estudo de equações a diferenças aplicadas em dinâmica populacional

Descrição

A Biomatemática, área na qual se estuda modelos matemáticos para investigar o comportamento de sistemas biológicos, embora seja uma das áreas mais importantes em matemática aplicada, ainda é pouco conhecida e explorada nos cursos de graduação. Historicamente, o desenvolvimento de modelos matemáticos para retratar fenômenos naturais têm sido construídos a partir de equações diferenciais (no qual o tempo é considerado contínuo), como por exemplo o modelo de Malthus, modelo de Verhulst (equação logística) e modelo de Lotka-Volterra. Entretanto, existem vários sistemas cuja dinâmica é melhor descrita ao considerarmos intervalos de tempo discretos, como por exemplo, em espécies com reprodução sazonal ou com ciclo anual de vida. Além disso, em estudos experimentais, os dados são frequentemente coletados em intervalos de tempo igualmente espaçados, mesmo em casos em que o objeto de estudo evolua, na verdade, continuamente. Para estes cenários, é mais adequada a utilização de equações a diferenças (onde o tempo é considerado discreto) ao invés de equações diferenciais. Diante disso, com esta pesquisa, pretende-se, em um primeiro momento, compreender os conceitos matemáticos e estudar as soluções de modelos discretos para uma única espécie presentes na literatura, tais como mapa logístico, modelo de Ricker e modelo de Beverton-Holt. Na sequência, a partir das equações estudadas, serão construídos modelos teóricos para sistemas que envolvam duas espécies interagentes, como por exemplo, um sistema predador-presa. Para tais modelos, as soluções de equilíbrio serão determinadas, será feita a análise de estabilidade e construção de simulações numéricas usando softwares matemáticos.